3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x=4$ で極小値 $0$ をとるとき、以下の問題を解く。 (1) $a, b$ の値を求める。また、$f(x)$ が極大値をとる $x$ の値と、その極大値を求める。 (2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。点 $A(1, 8)$ から曲線 $y=f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。さらに、点 $P(0, p)$ から曲線 $y=f(x)$ に異なる3本の接線が引けるときの、定数 $p$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x=4$ で極小値 $0$ をとるとき、以下の問題を解く。

(1) $a, b$ の値を求める。また、$f(x)$ が極大値をとる $x$ の値と、その極大値を求める。

(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。点 $A(1, 8)$ から曲線 $y=f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。さらに、点 $P(0, p)$ から曲線 $y=f(x)$ に異なる3本の接線が引けるときの、定数 $p$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$x=4$ で極小値 $0$ をとるので、 $f(4) = 0$ かつ $f'(4) = 0$

$f(4) = 4^3 + a(4^2) + 4b - 16 = 64 + 16a + 4b - 16 = 16a + 4b + 48 = 0$

$16a + 4b = -48$

$4a + b = -12$ ...(1)

$f'(4) = 3(4^2) + 2a(4) + b = 48 + 8a + b = 0$

$8a + b = -48$ ...(2)

(2) - (1) より

$4a = -36$

$a = -9$

(1) に代入して $4(-9) + b = -12$

$-36 + b = -12$

$b = 24$

よって、$f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2, 4$

$f(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 16 = 8 - 36 + 48 - 16 = 4$

$x=2$ のとき極大値 $4$ をとる。

(2) $y = f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24$

点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は

$y - f(t) = f'(t)(x-t)$

$y = (3t^2 - 18t + 24)(x-t) + t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 3t^3 + 18t^2 - 24t + t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$

点 $A(1, 8)$ から引いた接線を考えるので、

$8 = (3t^2 - 18t + 24)(1) - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$8 = 3t^2 - 18t + 24 - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$2t^3 - 12t^2 + 18t = 0$

$2t(t^2 - 6t + 9) = 0$

$2t(t-3)^2 = 0$

$t = 0, 3$

$t = 0$ のとき、$y = 24x - 16$

$t = 3$ のとき、$f'(3) = 3(3^2) - 18(3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3$

$y = -3x - 2(3^3) + 9(3^2) - 16 = -3x - 54 + 81 - 16 = -3x + 11$

点 $P(0, p)$ から引いた接線を考える。

$p = (3t^2 - 18t + 24)(0) - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$p = -2t^3 + 9t^2 - 16$

$2t^3 - 9t^2 + 16 + p = 0$

これが異なる3つの実数解を持つとき、異なる3本の接線が引ける。

$g(t) = 2t^3 - 9t^2 + 16 + p$

$g'(t) = 6t^2 - 18t = 6t(t-3)$

$g'(t) = 0$ のとき、$t = 0, 3$

$g(0) = 16 + p$

$g(3) = 2(3^3) - 9(3^2) + 16 + p = 54 - 81 + 16 + p = -11 + p$

$g(0)g(3) < 0$ のとき、異なる3つの実数解を持つ。

$(16+p)(-11+p) < 0$

$(p+16)(p-11) < 0$

$-16 < p < 11$

3. 最終的な答え

(1) $a = -9$, $b = 24$

$x = 2$ のとき、極大値 $4$ をとる。

(2) $y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$y = 24x - 16$ または $y = -3x + 11$

$-16 < p < 11$