関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1} x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1} x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$, ここで $u = \sin^{-1} x$ とおく。

すると、$y = \tan^{-1} u$ となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{1+(\sin^{-1} x)^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+(\sin^{-1} x)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2} [1+(\sin^{-1} x)^2]}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2} (1+(\sin^{-1} x)^2)}$