(1) 媒介変数表示 $x = \cos\theta - 2\sin\theta$, $y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ で与えられる曲線の式を $x$ と $y$ で表す。 (2) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin2t$, $y = \sin5t$ と表される曲線 $C$ と $y$ 軸との交点の個数を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) 媒介変数表示 $x = \cos\theta - 2\sin\theta$, $y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ で与えられる曲線の式を $x$ と $y$ で表す。

(2) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin2t$, $y = \sin5t$ と表される曲線 $C$ と $y$ 軸との交点の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x = \cos\theta - 2\sin\theta$ と $y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ を用いて $\cos\theta$ と $\sin\theta$ を $x$ と $y$ で表すことを考えます。

$x$ の式を6倍すると、$6x = 6\cos\theta - 12\sin\theta$ となります。

これを、$y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ から引くと、

$y - 6x = 15\sin\theta$

$\sin\theta = \frac{y - 6x}{15}$

次に、$y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ の式を2倍すると、$2y = 12\cos\theta + 6\sin\theta$ となります。

$x = \cos\theta - 2\sin\theta$ の式を3倍すると、$3x = 3\cos\theta - 6\sin\theta$ となります。

$2y$ から $3x$ の4倍を引くと、

$2y - 3x = 9\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{2y - 3x}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用すると、

$(\frac{y - 6x}{15})^2 + (\frac{2y - 3x}{9})^2 = 1$

$(\frac{y - 6x}{5})^2 / 9 + (\frac{2y - 3x}{3})^2 / 9 = 1$

$\frac{(y-6x)^2}{225} + \frac{(2y-3x)^2}{81} = 1$

(2)

曲線 $C$ と $y$ 軸との交点を求めるので、$x = 0$ となる $t$ を探します。

$x = \sin2t = 0$ となるのは、$2t = n\pi$ ($n$ は整数) つまり $t = \frac{n\pi}{2}$ のときです。

このとき、$y = \sin5t = \sin(5\frac{n\pi}{2})$ となります。

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ ($k$ は整数) とすると、$t = k\pi$ となり、$y = \sin(5k\pi) = 0$ となります。

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ ($k$ は整数) とすると、$t = \frac{(2k+1)\pi}{2}$ となり、$y = \sin(5\frac{(2k+1)\pi}{2}) = \sin((5k+\frac{5}{2})\pi) = \sin(5k\pi + \frac{5}{2}\pi) = \sin(\frac{5}{2}\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ または $y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ のどちらかになります。

$0 \le t < 2\pi$ で考えます。

$t = \frac{n\pi}{2}$ なので、$n = 0, 1, 2, 3$ の範囲です。

$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ となります。

$t = 0$ のとき、$x = 0, y = 0$

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = 0, y = 1$

$t = \pi$ のとき、$x = 0, y = 0$

$t = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$x = 0, y = -1$

$y=\sin 5t$ は周期が$2\pi/5$ なので、$0\leq t < 2\pi$で考えると、$5$回振動します。

$\sin 2t = 0$ となるのは、$2t = n\pi$ なので、$t = \frac{n\pi}{2}$ です。$n = 0,1,2,3,4,5,6,7$ で、$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi, \frac{7\pi}{2}$.

よって、交点は$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$に対応するので、

$y = \sin 5t = \sin \frac{5n\pi}{2}$.

$n = 0,1,2,3,4,5,6,7$に対して、$y = 0, 1, 0, -1, 0$となるので、

$0\leq t < 2\pi$における$x = 0$での$y$の値は、$0, 1, 0, -1$

$t = \frac{k\pi}{2}$, ($k$は整数)

$\sin 5t = \sin (5k\pi/2)$.

$t$が$2\pi$変化すると$\sin 2t$は$2$回、$sin 5t$は$5$回振動します。

$0 \le t < 2\pi$ で $sin 2t = 0$ となるのは、上記のように$t = k\pi/2, k = 0, ..., 3$ です。

このうち、$y = \sin 5t$ は、$t = \pi/2, 3\pi/2$ でそれぞれ $1$ と $-1$ をとります。$y = 0$ は$t = 0, \pi, 2\pi$.

さらに、$x = \sin 2t$ と $y = \sin 5t$ はそれぞれ周期が $\pi$と $\frac{2\pi}{5}$であるので、

$11$個。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(y-6x)^2}{225} + \frac{(2y-3x)^2}{81} = 1$

(2) 11個