関数 $y = \sin x - \cos^2 x$ の最大値と、そのときの $x$ の値を $0 \leq x < 2\pi$ の範囲で求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x - \cos^2 x$ の最大値と、そのときの $x$ の値を $0 \leq x < 2\pi$ の範囲で求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を $\sin x$ を用いて表す。$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ なので、与えられた関数は次のように書き換えられる。

$y = \sin x - (1 - \sin^2 x) = \sin x - 1 + \sin^2 x = \sin^2 x + \sin x - 1$

ここで、$t = \sin x$ と置くと、$y = t^2 + t - 1$ となる。ただし、$-1 \leq t \leq 1$ である。

次に、$y = t^2 + t - 1$ を平方完成する。

$y = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 1 = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$y$ は $t = - \frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{5}{4}$ をとる。

$t = 1$ のとき、$y$ は最大値をとる。

$y = 1^2 + 1 - 1 = 1$

$\sin x = 1$ を満たす $x$ の値を $0 \leq x < 2\pi$ の範囲で求めると、$x = \frac{\pi}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

最大値: 1

$x$ の値: $\frac{\pi}{2}$