次の定積分の値を求めよ。 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めよ。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ は、逆三角関数 $\arcsin(x)$ で表される。つまり、

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$ (Cは積分定数)

したがって、定積分は次のように計算できる。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \left[ \arcsin(x) \right]_{-1}^{1}$

ここで、$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ であり、$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ である。

したがって、

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$