与えられた逆三角関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。 (1) $y = \sin^{-1}(3x)$ (2) $y = \sin^{-1}(\frac{x}{3})$ (3) $y = \cos^{-1}(3x)$ (4) $y = \cos^{-1}(\frac{x}{3})$

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。

(1) $y = \sin^{-1}(3x)$

(2) $y = \sin^{-1}(\frac{x}{3})$

(3) $y = \cos^{-1}(3x)$

(4) $y = \cos^{-1}(\frac{x}{3})$

2. 解き方の手順

逆三角関数の微分公式を利用します。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{d}{dx} \cos^{-1}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

また、合成関数の微分を利用します。

(1) $y = \sin^{-1}(3x)$ の場合

$u = 3x$ とおくと、$y = \sin^{-1}(u)$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

(2) $y = \sin^{-1}(\frac{x}{3})$ の場合

$u = \frac{x}{3}$ とおくと、$y = \sin^{-1}(u)$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{3}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{3})^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$

(3) $y = \cos^{-1}(3x)$ の場合

$u = 3x$ とおくと、$y = \cos^{-1}(u)$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} \cdot 3 = -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

(4) $y = \cos^{-1}(\frac{x}{3})$ の場合

$u = \frac{x}{3}$ とおくと、$y = \cos^{-1}(u)$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{3}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{3})^2}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} = -\frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$