与えられた問題は、広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx$

$x^{-4}$ の積分は、冪の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて計算できます。ここで、$n = -4$ です。

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{b}$

$\lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{3b^3} - \left(-\frac{1}{3(1)^3}\right)\right] = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{3b^3} + \frac{1}{3}\right]$

$b$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{3b^3}$ は 0 に近づきます。

$\lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{3b^3} + \frac{1}{3}\right] = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$