問題66: 和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$ を求める。 問題67(1): 和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^{n-1}$ を求める。

1. 問題の内容

問題66: 和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$ を求める。

問題67(1): 和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^{n-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

問題66:

まず、$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{(k+2) - (k+1)} = \sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})$

$= (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \cdots + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$

$= \sqrt{n+2} - \sqrt{2}$

問題67(1):

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^{n-1}$

両辺に4をかけると

$4S = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \cdots + n \cdot 4^n$

$S - 4S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^{n-1}) - (1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \cdots + n \cdot 4^n)$

$-3S = 1 + 4 + 4^2 + \cdots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n$

等比数列の和の公式より、

$1 + 4 + 4^2 + \cdots + 4^{n-1} = \frac{1(4^n - 1)}{4-1} = \frac{4^n - 1}{3}$

$-3S = \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n$

$-9S = 4^n - 1 - 3n \cdot 4^n = (1 - 3n)4^n - 1$

$S = \frac{1 - (1 - 3n)4^n}{9} = \frac{1 - (1 - 3n)4^n}{9} = \frac{1 + (3n-1)4^n}{9}$

3. 最終的な答え

問題66: $\sqrt{n+2} - \sqrt{2}$

問題67(1): $\frac{1 + (3n-1)4^n}{9}$