逆関数の微分法の公式を用いて、与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = x^{\frac{4}{9}}$ (2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x^3}$

以下に問題の回答を示します。

1. 問題の内容

逆関数の微分法の公式を用いて、与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = x^{\frac{4}{9}}$

(2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{\frac{4}{9}}$ の微分

$y' = \frac{4}{9} x^{\frac{4}{9} - 1}$

$y' = \frac{4}{9} x^{-\frac{5}{9}}$

(2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x^3}$ の微分

$y = \frac{x^2}{x^3} - \frac{x}{x^3} - \frac{2}{x^3}$

$y = x^{-1} - x^{-2} - 2x^{-3}$

$y' = -x^{-2} - (-2)x^{-3} - 2(-3)x^{-4}$

$y' = -x^{-2} + 2x^{-3} + 6x^{-4}$

$y' = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \frac{6}{x^4}$

$y' = \frac{-x^2 + 2x + 6}{x^4}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{4}{9} x^{-\frac{5}{9}}$

(2) $y' = \frac{-x^2 + 2x + 6}{x^4}$