## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、問題番号62の(5)と(6)について解きます。

(5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$

(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$

## 解き方の手順

### (5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$ の微分

この関数は、商の微分公式を使って微分します。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = \sin^{-1}x$、$v = \cos^{-1}x$ と置きます。

まず、$u$ と $v$ の微分を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$v' = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

次に、商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})(\cos^{-1}x) - (\sin^{-1}x)(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})}{(\cos^{-1}x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}}{(\cos^{-1}x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}$

ここで、$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ であることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}$

### (6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分

この関数は、合成関数の微分を使って微分します。合成関数の微分公式は以下の通りです。

$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

ここで、$f(u) = \sqrt{u}$、$g(x) = \tan^{-1}x$ と置きます。

まず、$f'(u)$ と $g'(x)$ を求めます。

$f'(u) = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}$

次に、合成関数の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$

## 最終的な答え

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$