## 問題 7 の内容

## 問題 7 の内容

関数 $y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$ を微分します。

## 解き方の手順

1. **商の微分公式の利用**: $y = \frac{1}{f(x)}$ の形の関数を微分する場合、 $y' = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$ を利用します。 今回 $f(x) = \log(x^2 + 1)$ です。

2. **f(x) の微分**: $f(x) = \log(x^2+1)$ を微分します。合成関数の微分公式を使用します。

$\frac{d}{dx}\log(u) = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$ より、

$f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2+1}$

3. **元の式に代入**: ステップ1の公式に $f(x) = \log(x^2+1)$ と $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ を代入します。

$y' = -\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{[\log(x^2+1)]^2} = -\frac{2x}{(x^2+1)[\log(x^2+1)]^2}$

## 最終的な答え

$y' = -\frac{2x}{(x^2+1)[\log(x^2+1)]^2}$

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## 問題 8 の内容

関数 $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$ を微分します。

## 解き方の手順

1. **商の微分公式の適用**: $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の形の関数を微分する場合、$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ を利用します。 今回、$u(x) = \log(1-x^2)$ と $v(x) = e^{2x}$ です。

2. **u(x) の微分**: $u(x) = \log(1-x^2)$ を微分します。合成関数の微分公式を使用します。

$\frac{d}{dx}\log(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$u'(x) = \frac{1}{1-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1-x^2) = \frac{1}{1-x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1-x^2}$

3. **v(x) の微分**: $v(x) = e^{2x}$ を微分します。合成関数の微分公式を使用します。

$\frac{d}{dx}e^{u} = e^u \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$v'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$

4. **元の式に代入**: ステップ1の公式に $u(x) = \log(1-x^2)$, $v(x) = e^{2x}$, $u'(x) = \frac{-2x}{1-x^2}$ および $v'(x) = 2e^{2x}$ を代入します。

$y' = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} \cdot e^{2x} - \log(1-x^2) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$

$y' = \frac{e^{2x} \left( \frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2) \right)}{e^{4x}}$

$y' = \frac{ \frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

$y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$

## 最終的な答え

$y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$