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問題52の(6)は、関数 $y = \tan^{-1}x^2$ を微分する問題です。

解析学微分逆正接関数合成関数の微分
2025/6/14

1. 問題の内容

問題52の(6)は、関数 y=tan⁡−1x2y = \tan^{-1}x^2 を微分する問題です。

2. 解き方の手順

逆正接関数 tan⁡−1u\tan^{-1}u の微分は、
ddx(tan⁡−1u)=11+u2⋅dudx\frac{d}{dx}(\tan^{-1}u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}
で与えられます。
この問題では、u=x2u = x^2 なので、まず dudx\frac{du}{dx} を計算します。
dudx=ddx(x2)=2x\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
次に、tan⁡−1u=tan⁡−1x2\tan^{-1}u = \tan^{-1}x^2 の微分を計算します。
dydx=11+(x2)2⋅2x=2x1+x4\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4}

3. 最終的な答え

dydx=2x1+x4\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{1 + x^4}

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