与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(1) $y = \sin^3 4x$、(2) $y = \frac{1}{\cos x}$、(3) $y = \sqrt{\tan x}$、(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$ の4つの関数について、それぞれ微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(1) $y = \sin^3 4x$、(2) $y = \frac{1}{\cos x}$、(3) $y = \sqrt{\tan x}$、(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$ の4つの関数について、それぞれ微分を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^3 4x$ の微分：

合成関数の微分を行います。まず、$u = \sin 4x$ と置くと、$y = u^3$ です。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

次に、$v = 4x$ と置くと、$u = \sin v$ です。

$\frac{du}{dv} = \cos v$

$\frac{dv}{dx} = 4$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 3u^2 \cdot \cos v \cdot 4 = 3(\sin 4x)^2 \cdot \cos 4x \cdot 4 = 12 \sin^2 4x \cos 4x$

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$ の微分：

$y = (\cos x)^{-1}$ と変形して、合成関数の微分を行います。

$u = \cos x$ と置くと、$y = u^{-1}$ です。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{(\cos x)^2} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$

(3) $y = \sqrt{\tan x}$ の微分：

$y = (\tan x)^{\frac{1}{2}}$ と変形して、合成関数の微分を行います。

$u = \tan x$ と置くと、$y = u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \sec^2 x = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$ の微分：

積の微分法と合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-3x}) \cdot \sin 2x + e^{-3x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 2x)$

$\frac{d}{dx}(e^{-3x}) = -3e^{-3x}$

$\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2\cos 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x} \sin 2x + e^{-3x} (2\cos 2x) = e^{-3x}(-3\sin 2x + 2\cos 2x)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12 \sin^2 4x \cos 4x$

(2) $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{-3x}(-3\sin 2x + 2\cos 2x)$