3つの問題があります。 (1) $a > 1$ のとき、$C_1$ と $C_2$ が原点以外でも交点を持つことを増減表を用いて示してください。ただし、原点は交点の1つです。ヒント: 逆関数は元の関数に対し、$y = x$ に関して対称となります。 (2) $C_1$ と $C_2$ の原点以外の交点の $x$ 座標を $t > 0$ とするとき、$a \to \infty$ のとき、$t$ はどの値に近づくか答えてください。 (3) $C_1$ と $C_2$ に囲まれる領域の面積を $S_a$ とするとき、$\lim_{a \to \infty} S_a$ を求めてください。ヒント: $\lim_{x \to +0} x^2 \log x = 0$ であることを用いてください。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

(1) $a > 1$ のとき、$C_1$ と $C_2$ が原点以外でも交点を持つことを増減表を用いて示してください。ただし、原点は交点の1つです。ヒント: 逆関数は元の関数に対し、$y = x$ に関して対称となります。

(2) $C_1$ と $C_2$ の原点以外の交点の $x$ 座標を $t > 0$ とするとき、$a \to \infty$ のとき、$t$ はどの値に近づくか答えてください。

(3) $C_1$ と $C_2$ に囲まれる領域の面積を $S_a$ とするとき、$\lim_{a \to \infty} S_a$ を求めてください。ヒント: $\lim_{x \to +0} x^2 \log x = 0$ であることを用いてください。

2. 解き方の手順

(1)

$C_1$ の関数を $y=f(x)$ とします。$C_2$ は $C_1$ の逆関数なので、$y=x$ に関して対称です。

$f(x) = ax - x \log x$ と置くと、$f(0)=0$ であるから原点を通ります。

$f'(x) = a - \log x - 1$

$f''(x) = -1/x < 0$ ( for $x > 0$)

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を $x_0$ とすると、$x_0 = e^{a-1}$.

$x>0$ における $f'(x)$ の増減表は次の通りです。

| x | 0 | ... | $e^{a-1}$ | ... | $\infty$ |

| :---- | :--------- | :------- | :-------- | :------- | :------- |

| f'(x) | $\infty$ | + | 0 | - | -$\infty$ |

| f(x) | 0 | $\nearrow$ | 最大 | $\searrow$ | |

$f(x)$ は $x=e^{a-1}$ で最大値 $f(e^{a-1}) = ae^{a-1} - e^{a-1} \log(e^{a-1}) = ae^{a-1} - e^{a-1}(a-1) = e^{a-1} > 0$ を取ります。

$f(x)$ のグラフは、$x=0$ で $f'(x) = a - \log x - 1 \to \infty$ なので、$x$ 軸に垂直な接線を持ち、単調増加で始まります。その後、$x = e^{a-1}$ にて極大値を持ち、$x \to \infty$ で $-\infty$ に向かいます。

$y=f(x)$ と $y=x$ の交点は、$f(x) = x$, すなわち、$ax - x \log x = x$ を満たします。これは、$x(a-1 - \log x) = 0$ と変形でき、$x=0$ または $a-1 - \log x = 0$ となります。

$x=0$ は原点を示しています。

$a-1 - \log x = 0$ より、$x = e^{a-1}$ です。

したがって、$x > 0$ において交点 $x = e^{a-1}$ が存在します。

(2)

$C_1$ と $C_2$ の原点以外の交点の $x$ 座標を $t > 0$ とすると、$f(t) = t$ が成り立ちます。すなわち、$at - t \log t = t$ です。したがって、$t(a-1-\log t) = 0$ です。$t>0$ より、$a-1-\log t = 0$ となります。これより、$t = e^{a-1}$ となります。

$a \to \infty$ のとき、$t = e^{a-1} \to \infty$ となります。

(3)

$S_a = 2 \int_0^t (x - f(x)) dx = 2 \int_0^t (x - (ax - x \log x)) dx = 2 \int_0^t (x - ax + x \log x) dx = 2 \int_0^t x(1 - a + \log x) dx$

$= 2 \left[ (1-a)\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4} \right]_0^t = 2 \left[ \frac{x^2}{4} + (1-a)\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2}\log x \right]_0^t = \left[ \frac{x^2}{2} + (1-a)x^2 + x^2 \log x \right]_0^t$

$S_a = \frac{t^2}{2} + (1-a)t^2 + t^2 \log t - \lim_{x \to +0} (x^2/2 + (1-a)x^2 + x^2 \log x)$

$\lim_{x \to +0} x^2 \log x = 0$ なので

$S_a = \frac{t^2}{2} + (1-a)t^2 + t^2 \log t = \frac{t^2}{2} + (1-a)t^2 + t^2 (a-1) = \frac{t^2}{2}$

$t = e^{a-1}$ より

$S_a = \frac{e^{2(a-1)}}{2}$

$\lim_{a \to \infty} S_a = \lim_{a \to \infty} \frac{e^{2(a-1)}}{2} = \infty$

3. 最終的な答え

(1) 上記の通り

(2) $\infty$

(3) $\infty$