以下の2つの曲線について、問題(1)(2)(3)に答えよ。 $C_1: x = \frac{1}{a} \tan y \ (0 \le y < \frac{\pi}{2})$ $C_2: y = \frac{1}{a} \tan x \ (0 \le x < \frac{\pi}{2})$ ただし、$a > 1$ とする。 (1) $a > 1$ で $C_1, C_2$ は原点以外でも交点をもつことを増減表を書いて示せ（原点は交点の1つ）。ヒント：逆関数は元の関数に対し、$y=x$ に関して対称となる。 (2) $C_1, C_2$ の原点以外の交点のx座標を $t \ (t > 0)$ とする。$a \to \infty$ のとき、$t$ はどの値に近づくか。 (3) $C_1$ と $C_2$ に囲まれる領域の面積を $S_a$ とする。$\lim_{a \to \infty} S_a$ を求めよ。ヒント：$\lim_{x \to +0} x^2 \log x = 0$ であることを用いてよい。

1. 問題の内容

以下の2つの曲線について、問題(1)(2)(3)に答えよ。

$C_1: x = \frac{1}{a} \tan y \ (0 \le y < \frac{\pi}{2})$

$C_2: y = \frac{1}{a} \tan x \ (0 \le x < \frac{\pi}{2})$

ただし、$a > 1$ とする。

(1) $a > 1$ で $C_1, C_2$ は原点以外でも交点をもつことを増減表を書いて示せ（原点は交点の1つ）。ヒント：逆関数は元の関数に対し、$y=x$ に関して対称となる。

(2) $C_1, C_2$ の原点以外の交点のx座標を $t \ (t > 0)$ とする。$a \to \infty$ のとき、$t$ はどの値に近づくか。

(3) $C_1$ と $C_2$ に囲まれる領域の面積を $S_a$ とする。$\lim_{a \to \infty} S_a$ を求めよ。ヒント：$\lim_{x \to +0} x^2 \log x = 0$ であることを用いてよい。

2. 解き方の手順

(1)

$C_1$ を $y$ について解くと、 $y = \arctan(ax)$。$C_2$ は $y = \frac{1}{a} \tan x$。

$f(x) = \arctan(ax) - \frac{1}{a} \tan x$ とおくと、$f(0) = 0$。

$f'(x) = \frac{a}{1 + a^2 x^2} - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{a}{1 + a^2 x^2} - \frac{1}{a} (1 + \tan^2 x)$

$f'(0) = a - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a} > 0 \quad (a > 1)$

したがって、$x = 0$ の近傍で $f(x) > 0$ となる $x > 0$ が存在する。

また、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{1}{a} \tan x = \infty$ より、$f(x) = 0$ となる $x > 0$ が存在する。

(2)

交点では $\arctan(at) = \frac{1}{a} \tan t$ が成立する。

$a \to \infty$ のとき、$\arctan(at) \to \frac{\pi}{2}$。

したがって、$\frac{1}{a} \tan t \to \frac{\pi}{2}$。

$\tan t \to \frac{\pi}{2} a \to \infty$。

$0 \le t < \frac{\pi}{2}$ であるから、$t \to \frac{\pi}{2}$。

(3)

$S_a = \int_0^t (\arctan(ax) - \frac{1}{a} \tan x) dx$

$S_a = \int_0^t \arctan(ax) dx - \int_0^t \frac{1}{a} \tan x dx$

$\int_0^t \arctan(ax) dx = [x \arctan(ax)]_0^t - \int_0^t \frac{ax}{1 + a^2 x^2} dx$

$= t \arctan(at) - [\frac{1}{2a} \log(1 + a^2 x^2)]_0^t$

$= t \arctan(at) - \frac{1}{2a} \log(1 + a^2 t^2)$

$\int_0^t \frac{1}{a} \tan x dx = \frac{1}{a} \int_0^t \tan x dx = \frac{1}{a} [-\log(\cos x)]_0^t = -\frac{1}{a} \log(\cos t)$

$S_a = t \arctan(at) - \frac{1}{2a} \log(1 + a^2 t^2) + \frac{1}{a} \log(\cos t)$

$a \to \infty$ のとき、$t \to \frac{\pi}{2}$ より、$\cos t \to 0$。

$\arctan(at) \to \frac{\pi}{2}$

$S_a = \frac{\pi}{2} t - \frac{1}{a} \log(at) - \frac{1}{2a} \log(1 + \frac{1}{a^2 t^2}) + \frac{1}{a} \log(\cos t)$

$\lim_{a \to \infty} S_a = \lim_{a \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} t - \frac{\log a}{a} - \frac{\log t}{a} - \frac{\log (1 + a^2 t^2)}{2a} - \frac{\log (\cos t)}{a} \right)$

$t \to \frac{\pi}{2}$ で $\cos t \approx \frac{\pi}{2} - t$

$u = \frac{\pi}{2} - t$ とおくと、$t = \frac{\pi}{2} - u$ で $u \to 0$。

$\lim_{a \to \infty} \frac{\log u}{a} = 0$

$\lim_{a \to \infty} S_a = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 解答を参照

(2) $\frac{\pi}{2}$

(3) $\frac{\pi^2}{4}$