放物線 $y = -x^2 + 1$ と直線 $x = 2$ およびx軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。画像から、求める面積は2つの部分に分かれており、一つは$x=0$から$x=1$の区間、もう一つは$x=1$から$x=2$の区間にあります。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 1$ と直線 $x = 2$ およびx軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。画像から、求める面積は2つの部分に分かれており、一つは$x=0$から$x=1$の区間、もう一つは$x=1$から$x=2$の区間にあります。

2. 解き方の手順

まず、$x=0$から$x=1$の区間の面積を求めます。この区間では、$y = -x^2 + 1$ はx軸より上にあります。したがって、面積は定積分で計算できます。

$S_1 = \int_0^1 (-x^2 + 1) dx$

次に、$x=1$から$x=2$の区間の面積を求めます。この区間では、$y = -x^2 + 1$ はx軸より下にあります。したがって、面積は定積分の絶対値で計算できます。

$S_2 = \left| \int_1^2 (-x^2 + 1) dx \right|$

最後に、$S_1$と$S_2$を足し合わせることで、求める面積Sを得ます。

$S = S_1 + S_2$

計算を実行します。

$S_1 = \int_0^1 (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x \right]_0^1 = -\frac{1}{3}(1)^3 + 1 - (0) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

$S_2 = \left| \int_1^2 (-x^2 + 1) dx \right| = \left| \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x \right]_1^2 \right| = \left| \left( -\frac{1}{3}(2)^3 + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(1)^3 + 1 \right) \right|$

$= \left| \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) \right| = \left| -\frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} - 1 \right| = \left| -\frac{7}{3} + 1 \right| = \left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}$

$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

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