曲線 $y = -x^2 + 1$ と直線 $x = 2$ および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。ただし、図から判断すると、求める面積は、曲線と$x$軸の間($x=0$から$x=1$まで)の部分と、曲線、$x$軸、直線$x=2$で囲まれた部分（$x=1$から$x=2$まで）の和であると解釈します。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 1$ と直線 $x = 2$ および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。ただし、図から判断すると、求める面積は、曲線と$x$軸の間($x=0$から$x=1$まで)の部分と、曲線、$x$軸、直線$x=2$で囲まれた部分（$x=1$から$x=2$まで）の和であると解釈します。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = -x^2 + 1$ と $x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とおくと、$-x^2 + 1 = 0$ より、$x^2 = 1$ となり、$x = \pm 1$ です。求める範囲は$x=0$から$x=2$までなので、$x=-1$は考慮しません。

次に、面積を求めます。求める面積は、以下の二つの積分に分けることができます。

(1) $x = 0$ から $x = 1$ までの積分:

$S_1 = \int_0^1 (-x^2 + 1) dx$

(2) $x = 1$ から $x = 2$ までの積分:

$S_2 = \int_1^2 |-x^2 + 1| dx = \int_1^2 (x^2 - 1) dx$

$S_1$ を計算します。

$S_1 = \int_0^1 (-x^2 + 1) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1 = -\frac{1}{3} + 1 - (0) = \frac{2}{3}$

$S_2$ を計算します。

$S_2 = \int_1^2 (x^2 - 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$

求める面積 $S$ は、$S_1 + S_2$ です。

$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

求める面積は 2 です。