問題は、$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{13^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選び、正しくない場合は⑤を選択します。

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{13^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選び、正しくない場合は⑤を選択します。

2. 解き方の手順

この級数は、初項 $\frac{2}{13}$、公比 $\frac{1}{13}$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。この問題の場合、$a = \frac{2}{13}$、$r = \frac{1}{13}$ ですから、

$S_n = \frac{\frac{2}{13}(1-(\frac{1}{13})^n)}{1-\frac{1}{13}}$

$S_n = \frac{\frac{2}{13}(1-\frac{1}{13^n})}{\frac{12}{13}}$

$S_n = \frac{2}{13} \cdot \frac{13}{12} \cdot (1-\frac{1}{13^n})$

$S_n = \frac{2}{12}(1-\frac{1}{13^n})$

$S_n = \frac{1}{6}(1-\frac{1}{13^n})$

3. 最終的な答え

選択肢(2)が正しいです。

答え: (2) $\frac{1}{6}(1-\frac{1}{13^n})$