与えられた三角関数の値を求めます。 (1) $\sin{\frac{\pi}{3}i}$ (2) $\cos{\frac{\pi}{4}i}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を求めます。

(1) $\sin{\frac{\pi}{3}i}$

(2) $\cos{\frac{\pi}{4}i}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin{zi} = i\sinh{z}$ という公式を利用します。

$z = \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$\sin{\frac{\pi}{3}i} = i\sinh{\frac{\pi}{3}}$

$\sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ より、

$\sinh{\frac{\pi}{3}} = \frac{e^{\frac{\pi}{3}} - e^{-\frac{\pi}{3}}}{2}$

したがって、

$\sin{\frac{\pi}{3}i} = i\frac{e^{\frac{\pi}{3}} - e^{-\frac{\pi}{3}}}{2}$

(2) $\cos{zi} = \cosh{z}$ という公式を利用します。

$z = \frac{\pi}{4}$ を代入すると、

$\cos{\frac{\pi}{4}i} = \cosh{\frac{\pi}{4}}$

$\cosh{x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ より、

$\cosh{\frac{\pi}{4}} = \frac{e^{\frac{\pi}{4}} + e^{-\frac{\pi}{4}}}{2}$

したがって、

$\cos{\frac{\pi}{4}i} = \frac{e^{\frac{\pi}{4}} + e^{-\frac{\pi}{4}}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\frac{\pi}{3}i} = i\frac{e^{\frac{\pi}{3}} - e^{-\frac{\pi}{3}}}{2}$

(2) $\cos{\frac{\pi}{4}i} = \frac{e^{\frac{\pi}{4}} + e^{-\frac{\pi}{4}}}{2}$