与えられた複素数 $z$ に対して、$w = e^z$ を計算し、$w$ を複素平面上に図示する問題です。$z$ は2つの場合に与えられています。 (1) $z = 1 + \frac{\pi}{3}i$ (2) $z = 1 + \frac{7\pi}{3}i$

1. 問題の内容

与えられた複素数 $z$ に対して、$w = e^z$ を計算し、$w$ を複素平面上に図示する問題です。$z$ は2つの場合に与えられています。

(1) $z = 1 + \frac{\pi}{3}i$

(2) $z = 1 + \frac{7\pi}{3}i$

2. 解き方の手順

複素指数関数は、$e^{a+bi} = e^a(\cos b + i\sin b)$ で定義されます。

(1) $z = 1 + \frac{\pi}{3}i$ の場合

$w = e^z = e^{1 + \frac{\pi}{3}i} = e^1(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$w = e(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{e}{2} + i\frac{e\sqrt{3}}{2}$

(2) $z = 1 + \frac{7\pi}{3}i$ の場合

$w = e^z = e^{1 + \frac{7\pi}{3}i} = e^1(\cos \frac{7\pi}{3} + i\sin \frac{7\pi}{3})$

$\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$ なので、

$\cos \frac{7\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{7\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$w = e(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{e}{2} + i\frac{e\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $w = \frac{e}{2} + i\frac{e\sqrt{3}}{2}$

(2) $w = \frac{e}{2} + i\frac{e\sqrt{3}}{2}$

両方とも同じ点になります。

$w$ 平面上に図示する場合は、実軸が $\frac{e}{2}$、虚軸が $\frac{e\sqrt{3}}{2}$ の点になります。