問題は、$\tan \alpha = \frac{1}{5}$ を満たす $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、以下の式を示すことです。 $\tan(2\alpha) = \frac{5}{12}$ $\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$ $\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{239}$ ヒントとして、$\tan$ の加法定理が与えられています。

1. 問題の内容

問題は、$\tan \alpha = \frac{1}{5}$ を満たす $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき、以下の式を示すことです。

$\tan(2\alpha) = \frac{5}{12}$

$\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$

$\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{239}$

ヒントとして、$\tan$ の加法定理が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(2\alpha)$ を計算します。$\tan$ の加法定理より、

$\tan(2\alpha) = \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha \tan \alpha} = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

$\tan \alpha = \frac{1}{5}$ を代入すると、

$\tan(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$

次に、$\tan(4\alpha)$ を計算します。$\tan(4\alpha) = \tan(2\alpha + 2\alpha)$ なので、

$\tan(4\alpha) = \frac{\tan(2\alpha) + \tan(2\alpha)}{1 - \tan(2\alpha) \tan(2\alpha)} = \frac{2\tan(2\alpha)}{1 - \tan^2(2\alpha)}$

$\tan(2\alpha) = \frac{5}{12}$ を代入すると、

$\tan(4\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1 - (\frac{5}{12})^2} = \frac{\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{720}{714} = \frac{120}{119}$

最後に、$\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4})$ を計算します。$\tan$ の加法定理より、

$\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan(4\alpha) - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan(4\alpha) \tan(\frac{\pi}{4})}$

$\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$ と $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ を代入すると、

$\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119} \cdot 1} = \frac{\frac{120 - 119}{119}}{\frac{119 + 120}{119}} = \frac{\frac{1}{119}}{\frac{239}{119}} = \frac{1}{119} \cdot \frac{119}{239} = \frac{1}{239}$

3. 最終的な答え

$\tan(2\alpha) = \frac{5}{12}$

$\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$

$\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{239}$