$\arctan x$ のテイラー展開 $\arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$ を用いて、$\pi$ の近似値を小数第4位まで求める。ただし、$|x| < 1$ である。

1. 問題の内容

$\arctan x$ のテイラー展開 $\arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$ を用いて、$\pi$ の近似値を小数第4位まで求める。ただし、$|x| < 1$ である。

2. 解き方の手順

$\arctan x$ のテイラー展開を用いて $\pi$ の近似値を求める。まず、$\arctan x$ と $\pi$ の関係式を見つける。

$x = 1$ を $\arctan x$ に代入すると、$|x| < 1$ の条件を満たさないため、直接使用できない。

しかし、$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であることを利用し、$x=1$ を直接代入しない形で$\pi$の近似値を計算できる場合もある。

今回は、$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$ であることを利用する。

このとき、$\pi = 6 \arctan \frac{1}{\sqrt{3}}$となる。

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を $\arctan x$ のテイラー展開に代入すると、

$\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 + \frac{1}{5} (\frac{1}{\sqrt{3}})^5 - \frac{1}{7} (\frac{1}{\sqrt{3}})^7 + \dots$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9\sqrt{3}} - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{27\sqrt{3}} + \dots$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} (1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189} + \dots)$

$\sqrt{3} \approx 1.73205$ なので $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735$ である。

$\frac{\pi}{6} \approx 0.57735(1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189})$

$\approx 0.57735 (1 - 0.11111 + 0.02222 - 0.00529)$

$\approx 0.57735 (0.90582) \approx 0.52294$

$\pi = 6 \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 6 \cdot 0.52294 = 3.13764$

小数点第4位まで求めるので、$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$のとき、

$\pi = 6(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{45\sqrt{3}} - \frac{1}{189\sqrt{3}} + \frac{1}{891\sqrt{3}} - \dots)$

より項をいくつか計算する。

第1項: $\frac{6}{\sqrt{3}} \approx 3.4641$

第2項: $-\frac{6}{9\sqrt{3}} \approx -0.3849$

第3項: $\frac{6}{45\sqrt{3}} \approx 0.07698$

第4項: $-\frac{6}{189\sqrt{3}} \approx -0.01825$

第5項: $\frac{6}{891\sqrt{3}} \approx 0.00388$

第6項: $-\frac{6}{4131\sqrt{3}} \approx -0.00083$

第7項: $\frac{6}{19161\sqrt{3}} \approx 0.00018$

$\pi \approx 3.4641 - 0.3849 + 0.0770 - 0.0183 + 0.0039 - 0.0008 + 0.0002 = 3.1412$

$\arctan x$ のマクローリン展開は収束が遅いため、少ない項数では精度が低い。

3. 最終的な答え

3.1412