不等式 $2\sin x - 2\cos x > \sqrt{6}$ の $0 \le x \le \pi$ における解を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2\sin x - 2\cos x > \sqrt{6}$ の $0 \le x \le \pi$ における解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を合成します。

$2\sin x - 2\cos x = 2\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

したがって、不等式は

$2\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) > \sqrt{6}$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ここで、$y = x - \frac{\pi}{4}$ とおくと、 $0 \le x \le \pi$ より $-\frac{\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$ となります。

$\sin y > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $y$ の範囲は、

$\frac{\pi}{3} < y < \frac{2\pi}{3}$

したがって、$\frac{\pi}{3} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{4\pi + 3\pi}{12} < x < \frac{8\pi + 3\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}$