不等式 $4\cos^2 x + 2\cos x > 2\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $4\cos^2 x + 2\cos x > 2\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$4\cos^2 x + 2\cos x - 2\sqrt{2}\cos x - \sqrt{2} > 0$

$4\cos^2 x + (2 - 2\sqrt{2})\cos x - \sqrt{2} > 0$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、不等式は

$4t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t - \sqrt{2} > 0$

となります。

この二次不等式を解くために、まず二次方程式 $4t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t - \sqrt{2} = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$t = \frac{-(2 - 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 - 2\sqrt{2})^2 - 4(4)(-\sqrt{2})}}{2(4)}$

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm \sqrt{4 - 8\sqrt{2} + 8 + 16\sqrt{2}}}{8}$

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm \sqrt{12 + 8\sqrt{2}}}{8}$

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm \sqrt{4(3 + 2\sqrt{2})}}{8}$

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}{8}$

ここで、$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1+\sqrt{2}$ なので、

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm 2(1+\sqrt{2})}{8}$

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm (2+2\sqrt{2})}{8}$

$t_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{2} + 2+2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

よって、$4t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t - \sqrt{2} > 0$ の解は、$t < -\frac{1}{2}$ または $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$t = \cos x$ なので、$\cos x < -\frac{1}{2}$ または $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x < -\frac{1}{2}$ となるのは $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$ です。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $0 \le x < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi$ です。

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{4}$, $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi$