問題は、以下の3つの部分から構成されています。 (1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\tan \alpha = \frac{1}{5}$ を満たすとき、$\tan(2\alpha) = \frac{5}{12}$, $\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$, $\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{239}$ を示す。 (2) $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ を示す。 (3) $\arctan x$ のテイラー展開 $\arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$ ($|x| < 1$) を使って $\pi$ の近似値を小数第4位まで求める。 ここでは、指示に従い、問題2-1を解きます。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの部分から構成されています。

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\tan \alpha = \frac{1}{5}$ を満たすとき、$\tan(2\alpha) = \frac{5}{12}$, $\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$, $\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{239}$ を示す。

(2) $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ を示す。

(3) $\arctan x$ のテイラー展開 $\arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$ ($|x| < 1$) を使って $\pi$ の近似値を小数第4位まで求める。

ここでは、指示に従い、問題2-1を解きます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$tan(2\alpha)$ を求めます。タンジェントの加法定理より、

$\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12}$

次に、$tan(4\alpha)$ を求めます。タンジェントの加法定理より、

$\tan(4\alpha) = \frac{2 \tan(2\alpha)}{1 - \tan^2(2\alpha)} = \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1 - (\frac{5}{12})^2} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119}$

最後に、$tan(4\alpha - \frac{\pi}{4})$ を求めます。タンジェントの加法定理より、

$\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan(4\alpha) - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan(4\alpha) \tan(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119} \cdot 1} = \frac{\frac{120 - 119}{119}}{\frac{119 + 120}{119}} = \frac{\frac{1}{119}}{\frac{239}{119}} = \frac{1}{239}$

(2)

$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ を示すために、両辺のタンジェントを取ります。

$\tan(4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239})$ を計算します。

$4 \alpha = 4 \arctan \frac{1}{5}$とおくと、左辺は$\tan(4\alpha - \arctan \frac{1}{239})$となります。

(1) の結果から、$\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$、$\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{239}$ であることがわかっています。

よって、$4\alpha - \frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{239}$ です。

したがって、$4\arctan \frac{1}{5} - \frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{239}$となり、$4\arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ が成立します。

(3)

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$ を使って$\pi$を計算します。

$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$より、$\pi = 16 \arctan \frac{1}{5} - 4 \arctan \frac{1}{239}$です。

$\arctan \frac{1}{5} \approx \frac{1}{5} - \frac{1}{3} (\frac{1}{5})^3 + \frac{1}{5} (\frac{1}{5})^5 - \frac{1}{7} (\frac{1}{5})^7 + \dots = \frac{1}{5} - \frac{1}{3 \cdot 125} + \frac{1}{5 \cdot 3125} - \frac{1}{7 \cdot 78125} + \dots \approx 0.19739556$

$\arctan \frac{1}{239} \approx \frac{1}{239} - \frac{1}{3} (\frac{1}{239})^3 + \dots \approx 0.00418407$

$\pi \approx 16 \cdot 0.19739556 - 4 \cdot 0.00418407 \approx 3.15832896 - 0.01673628 \approx 3.14159268$

したがって、小数第4位までの$\pi$の近似値は3.1416です。

3. 最終的な答え

(1) $\tan(2\alpha) = \frac{5}{12}$, $\tan(4\alpha) = \frac{120}{119}$, $\tan(4\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{239}$

(2) $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$

(3) 3.1416