$\arctan x$ のテイラー展開を利用して、$|x|<1$ の条件下で $\pi$ の近似値を小数第4位まで求める問題です。与えられたテイラー展開は $$ \arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots $$ です。

1. 問題の内容

$\arctan x$ のテイラー展開を利用して、$|x|<1$ の条件下で $\pi$ の近似値を小数第4位まで求める問題です。与えられたテイラー展開は

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\arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots

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です。

2. 解き方の手順

まず、$\pi$ と $\arctan x$ の関係を探します。$\arctan x$ の定義より、$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ です。しかし、問題文中で $|x| < 1$ という条件があるため、直接 $x=1$ を代入することはできません。

そこで、$x$ として $\frac{1}{\sqrt{3}}$ を選びます。このとき、$\arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$ となります。これは、$|x| < 1$ を満たしています。

したがって、$\pi = 6 \arctan \frac{1}{\sqrt{3}}$ を計算することで$\pi$の近似値を求めることができます。$\arctan x$ のテイラー展開に $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を代入します。

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\pi = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^5 - \frac{1}{7} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^7 + \dots \right)

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この級数のいくつかの項を計算し、小数第4位まで精度が収束するまで計算を続けます。

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\pi = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9\sqrt{3}} - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{27\sqrt{3}} + \dots \right)

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\pi = \frac{6}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189} + \dots \right)

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$\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1.73205 = 3.4641$

いくつかの項を計算します：

$1 = 1.0000$

$-\frac{1}{9} = -0.1111$

$\frac{1}{45} = 0.0222$

$-\frac{1}{189} = -0.0053$

$\frac{1}{850.5} \approx 0.0012$

$- \frac{1}{3827.25} \approx -0.0003$

$1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189} + \frac{1}{945} - \dots \approx 1 - 0.1111 + 0.0222 - 0.0053 + 0.0012 - 0.0003 \approx 0.9067$

$\pi \approx 3.4641 \times 0.9067 \approx 3.1415$

または、直接計算すると

$\frac{6}{\sqrt{3}}(1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189} + \frac{1}{945}) = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{945 - 105 + 21 - 5 + 1}{945} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{857}{945} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{857}{945} \approx 3.14159$

3. 最終的な答え

3. 1416