$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left\{ \sqrt{1+x} - \left( 1 + \frac{1}{2}x + \alpha x^2 \right) \right\}$ が存在するような定数 $\alpha$ の値を定め、極限値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left\{ \sqrt{1+x} - \left( 1 + \frac{1}{2}x + \alpha x^2 \right) \right\}$ が存在するような定数 $\alpha$ の値を定め、極限値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{1+x}$ を $x=0$ の周りでテイラー展開（二項定理）します。

$\sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1)}{2!}x^2 + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!} x^3 + O(x^4)$

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4)$

次に、与えられた極限の式に代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left\{ 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4) - \left( 1 + \frac{1}{2}x + \alpha x^2 \right) \right\}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left\{ - \frac{1}{8}x^2 - \alpha x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4) \right\}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left\{ \left(-\frac{1}{8} - \alpha\right) x^2 + \frac{1}{16}x^3 + O(x^4) \right\}$

$\lim_{x \to 0} \left\{ \left(-\frac{1}{8} - \alpha\right) \frac{1}{x} + \frac{1}{16} + O(x) \right\}$

極限が存在するためには、$\frac{1}{x}$ の係数が0でなければなりません。

したがって、 $-\frac{1}{8} - \alpha = 0$ となる必要があります。

$\alpha = -\frac{1}{8}$

$\alpha = -\frac{1}{8}$ のとき、極限は

$\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{1}{16} + O(x) \right\} = \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$\alpha = -\frac{1}{8}$ のとき、極限値は $\frac{1}{16}$。

$\alpha = -\frac{1}{8}$

極限値 = $\frac{1}{16}$