次の等式が成り立つことを示す問題です。 $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$

1. 問題の内容

次の等式が成り立つことを示す問題です。

$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$

2. 解き方の手順

まず、$2 \arctan \frac{1}{5}$ を計算します。$\arctan$の加法定理を利用します。

$\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy}$

$2 \arctan \frac{1}{5} = \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{5} = \arctan \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}} = \arctan \frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \arctan \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \arctan \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \arctan \frac{5}{12}$

次に、$4 \arctan \frac{1}{5}$ を計算するために、$2 \arctan \frac{5}{12}$ を計算します。

$2 \arctan \frac{5}{12} = \arctan \frac{5}{12} + \arctan \frac{5}{12} = \arctan \frac{\frac{5}{12}+\frac{5}{12}}{1-\frac{5}{12}\cdot\frac{5}{12}} = \arctan \frac{\frac{10}{12}}{1-\frac{25}{144}} = \arctan \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \arctan \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \arctan \frac{5 \cdot 24}{119} = \arctan \frac{120}{119}$

したがって、$4 \arctan \frac{1}{5} = \arctan \frac{120}{119}$となります。

最後に、$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}$ を計算します。$\arctan$の加法定理の変形版を利用します。

$\arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x-y}{1+xy}$

$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \arctan \frac{120}{119} - \arctan \frac{1}{239} = \arctan \frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119}\cdot\frac{1}{239}} = \arctan \frac{\frac{120\cdot239-119}{119\cdot239}}{1+\frac{120}{119\cdot239}} = \arctan \frac{28680-119}{119\cdot239+120} = \arctan \frac{28561}{28441+120} = \arctan \frac{28561}{28561} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$