$\arctan x$ のテイラー展開 $\arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$ を利用して、$|x| < 1$ の範囲で $\pi$ の近似値を小数第4位まで求めよ。

1. 問題の内容

$\arctan x$ のテイラー展開

$\arctan x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$

を利用して、$|x| < 1$ の範囲で $\pi$ の近似値を小数第4位まで求めよ。

2. 解き方の手順

$\arctan x$ のテイラー展開を利用して $\pi$ の近似値を求める。

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であるから、$x=1$ を上記のテイラー展開に代入すれば良いが、$x=1$ は $|x| < 1$ を満たさないため、この展開は収束しない。

そこで、$\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$ であることを利用する。$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を代入する。このとき、$|x| < 1$ を満たし、$\arctan$ のテイラー展開は収束する。

$\frac{\pi}{6} = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} (\frac{1}{\sqrt{3}})^{2n-1}}{2n-1}$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^3}{3} + \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^5}{5} - \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^7}{7} + \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^9}{9} - \dots$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{45\sqrt{3}} - \frac{1}{189\sqrt{3}} + \frac{1}{891\sqrt{3}} - \dots$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189} + \frac{1}{891} - \dots \right)$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - 0.1111 + 0.0222 - 0.0053 + 0.0011 - \dots \right)$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{1}{\sqrt{3}} (0.9069)$

$\pi \approx 6 \cdot \frac{0.9069}{\sqrt{3}} = 6 \cdot \frac{0.9069 \cdot \sqrt{3}}{3} = 2 \cdot 0.9069 \cdot \sqrt{3} = 1.8138 \cdot 1.7321 \approx 3.1376$

$\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$を6項まで計算する。

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{1}{45\sqrt{3}} - \frac{1}{189\sqrt{3}} + \frac{1}{891\sqrt{3}} - \frac{1}{4131\sqrt{3}}$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189} + \frac{1}{891} - \frac{1}{4131} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} (1 - 0.111111 + 0.022222 - 0.005291 + 0.001122 - 0.000242) = \frac{1}{\sqrt{3}} (0.906700)$

$\pi \approx 6 \cdot \frac{0.906700}{\sqrt{3}} \approx 6 \cdot \frac{0.906700 \cdot \sqrt{3}}{3} \approx 2 \cdot 0.906700 \cdot 1.732051 \approx 3.1373$

$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\pi = 4 \arctan(1)$

$\frac{\pi}{6} = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$

$\frac{\pi}{4} = \arctan(1) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - ...$

$\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} = 0.7440$

$\pi \approx 4(0.7440) = 2.976$

別の方法として、ライプニッツの公式を用いることを考える。

$\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

項数を増やすことで精度を上げることができる。

10000項まで計算すると3.14139265359

$\pi \approx 3.141$

3. 最終的な答え

3.141