与えられた3つの関数を微分する問題です。関数はそれぞれ以下の通りです。 (8) $y = \frac{1}{x\sqrt[3]{x^2}}$ (9) $y = \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt[3]{x}}$ (10) $y = \sqrt[4]{\sqrt{x^9}}$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。関数はそれぞれ以下の通りです。

(8) $y = \frac{1}{x\sqrt[3]{x^2}}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt[3]{x}}$

(10) $y = \sqrt[4]{\sqrt{x^9}}$

2. 解き方の手順

**(8) $y = \frac{1}{x\sqrt[3]{x^2}}$ の微分**

まず、関数を指数形式に変換します。

$y = \frac{1}{x \cdot x^{2/3}} = \frac{1}{x^{1 + 2/3}} = \frac{1}{x^{5/3}} = x^{-5/3}$

次に、べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{3}x^{-\frac{5}{3} - 1} = -\frac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{3x^{8/3}} = -\frac{5}{3\sqrt[3]{x^8}}$

**(9) $y = \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt[3]{x}}$ の微分**

まず、関数を指数形式に変換します。

$y = \frac{1}{x^{1/2} \cdot x^{1/3}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{5/6}} = x^{-5/6}$

次に、べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{6}x^{-\frac{5}{6} - 1} = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{6x^{11/6}} = -\frac{5}{6\sqrt[6]{x^{11}}}$

**(10) $y = \sqrt[4]{\sqrt{x^9}}$ の微分**

まず、関数を指数形式に変換します。

$y = \sqrt[4]{\sqrt{x^9}} = (x^{9/2})^{1/4} = x^{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{4}} = x^{\frac{9}{8}}$

次に、べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{8}x^{\frac{9}{8} - 1} = \frac{9}{8}x^{\frac{1}{8}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{9}{8}x^{\frac{1}{8}} = \frac{9}{8}\sqrt[8]{x}$

3. 最終的な答え

(8) $\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{3\sqrt[3]{x^8}}$

(9) $\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{6\sqrt[6]{x^{11}}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = \frac{9}{8}\sqrt[8]{x}$