$x = e^t$、$y = e^{-t}$ であるとき、$\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。

1. 問題の内容

$x = e^t$、$y = e^{-t}$ であるとき、$\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{dt}$と$\frac{dx}{dt}$を計算する。

$y = e^{-t}$ なので、

$\frac{dy}{dt} = -e^{-t}$

$x = e^t$ なので、

$\frac{dx}{dt} = e^t$

次に、$\frac{dy}{dx}$を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-t}}{e^t} = -e^{-2t}$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$を計算する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) \frac{dt}{dx}$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dt} (-e^{-2t}) = 2e^{-2t}$

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{e^t} = e^{-t}$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2e^{-2t} \cdot e^{-t} = 2e^{-3t}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -e^{-2t}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2e^{-3t}$