与えられた関数を $x^n$ の形に変形し、公式2.3（おそらく $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$）を用いて微分する問題です。問題文には全部で7つの関数がありますが、ここでは(2),(3),(6),(7)の4つの関数について、微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を $x^n$ の形に変形し、公式2.3（おそらく $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$）を用いて微分する問題です。問題文には全部で7つの関数がありますが、ここでは(2),(3),(6),(7)の4つの関数について、微分を求めます。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分を計算します。

(2) $y = \frac{x^8}{x^2}$

まず、$y$ を $x^n$ の形に変形します。

$y = x^{8-2} = x^6$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = 6x^{6-1} = 6x^5$

(3) $y = \frac{1}{x^4}$

まず、$y$ を $x^n$ の形に変形します。

$y = x^{-4}$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$

(6) $y = x\sqrt{x}$

まず、$y$ を $x^n$ の形に変形します。

$y = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

(7) $y = \frac{x^2}{\sqrt[4]{x^5}}$

まず、$y$ を $x^n$ の形に変形します。

$y = \frac{x^2}{x^{\frac{5}{4}}} = x^{2 - \frac{5}{4}} = x^{\frac{8}{4} - \frac{5}{4}} = x^{\frac{3}{4}}$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{dy}{dx} = 6x^5$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^5}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$