$\int \cos^{-1} x dx$ を求める問題です。つまり、逆余弦関数 $\cos^{-1} x$ の不定積分を計算します。

1. 問題の内容

$\int \cos^{-1} x dx$ を求める問題です。つまり、逆余弦関数 $\cos^{-1} x$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

まず、$u = \cos^{-1} x$、$dv = dx$ とおきます。

すると、$du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \int x \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx$

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$w = 1-x^2$ と置換すると、$dw = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} dw$ となります。

よって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{w}} dw = -\frac{1}{2} \int w^{-1/2} dw$

$= -\frac{1}{2} \cdot \frac{w^{1/2}}{1/2} + C = -w^{1/2} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

これを元の式に代入すると、

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$ （Cは積分定数）