SENSEI AI
About App

次の極限を求めます。 $\lim_{x \to +0} \left( \sqrt{\frac{1}{x} + 1} - \sqrt{\frac{1}{x} - 1} \right)$

解析学極限有利化ルート関数の極限
2025/4/29

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
lim⁡x→+0(1x+1−1x−1)\lim_{x \to +0} \left( \sqrt{\frac{1}{x} + 1} - \sqrt{\frac{1}{x} - 1} \right)

2. 解き方の手順

まず、与えられた式に有利化を施します。
1x+1−1x−1=(1x+1−1x−1)(1x+1+1x−1)1x+1+1x−1\sqrt{\frac{1}{x} + 1} - \sqrt{\frac{1}{x} - 1} = \frac{\left(\sqrt{\frac{1}{x} + 1} - \sqrt{\frac{1}{x} - 1}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{x} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x} - 1}\right)}{\sqrt{\frac{1}{x} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x} - 1}}
分子を展開すると、
(1x+1)2−(1x−1)2=1x+1−(1x−1)=1x+1−1x+1=2\left(\sqrt{\frac{1}{x} + 1}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{1}{x} - 1}\right)^2 = \frac{1}{x} + 1 - \left(\frac{1}{x} - 1\right) = \frac{1}{x} + 1 - \frac{1}{x} + 1 = 2
したがって、
1x+1−1x−1=21x+1+1x−1\sqrt{\frac{1}{x} + 1} - \sqrt{\frac{1}{x} - 1} = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x} - 1}}
ここで、1x\frac{1}{x}をくくりだすと、
21x+1+1x−1=21x(1+x)+1x(1−x)=21x(1+x+1−x)=2x1+x+1−x\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x} - 1}} = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}(1 + x)} + \sqrt{\frac{1}{x}(1 - x)}} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{x}} \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}\right)} = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}
よって、求める極限は、
lim⁡x→+0(1x+1−1x−1)=lim⁡x→+02x1+x+1−x\lim_{x \to +0} \left( \sqrt{\frac{1}{x} + 1} - \sqrt{\frac{1}{x} - 1} \right) = \lim_{x \to +0} \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}
x→+0x \to +0のとき、x→0\sqrt{x} \to 0, 1+x→1\sqrt{1 + x} \to 1, 1−x→1\sqrt{1 - x} \to 1なので、
lim⁡x→+02x1+x+1−x=2⋅01+1=02=0\lim_{x \to +0} \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = \frac{2 \cdot 0}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0

3. 最終的な答え

0

「解析学」の関連問題

与えられた積分を計算する問題です。 積分は $\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$ です。

積分置換積分arctan積分計算
2025/4/29

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解け。 $\tan \theta + \sqrt{3} \le 0$

三角関数不等式tan三角不等式
2025/4/29

次の極限値を求めます。 $\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x)$

極限指数関数場合分け
2025/4/29

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2 + bx + 1} - 2x) = 3$ が成り立つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。

極限関数の極限有理化ルート数列
2025/4/29

点Pから放物線 $y = x^2$ に2本の接線を引くことができ、それらの接点をA, Bとするとき、$\angle APB = \frac{\pi}{4}$ を満たしながら点Pが動く。このような点Pの...

接線軌跡双曲線微分二次方程式
2025/4/29

次の極限を求めます。 $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$

極限有理化関数の極限
2025/4/29

複素数平面上で、$z_0 = 1 + i$ が表す点を $A_0$ とし、$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ とする。 $z_1 = \alpha ...

複素数平面数列等比数列面積無限級数
2025/4/29

$x = e^t$, $y = e^{-t}$であるとき、$\frac{dy}{dx}$, $\frac{d^2y}{dx^2}$を$t$の関数として表す。

微分合成関数パラメータ表示
2025/4/29

次の関数を微分します。 (1) $y=x^x$ ($x>0$) (2) $y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$

微分対数微分法関数の微分
2025/4/29

次の3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ (2) $y = x^2 (\log x)^3$ (3) $y = \frac{e^...

微分三角関数対数関数指数関数商の微分積の微分
2025/4/29