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次の極限を求めます。 $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$

解析学極限有理化関数の極限
2025/4/29

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
lim⁡x→0x2+x+1−11+x−1−x\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ有理化します。
分子の有理化:
x2+x+1−1=(x2+x+1−1)(x2+x+1+1)x2+x+1+1=x2+x+1−1x2+x+1+1=x2+xx2+x+1+1=x(x+1)x2+x+1+1\sqrt{x^2+x+1}-1 = \frac{(\sqrt{x^2+x+1}-1)(\sqrt{x^2+x+1}+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+1} = \frac{x^2+x+1-1}{\sqrt{x^2+x+1}+1} = \frac{x^2+x}{\sqrt{x^2+x+1}+1} = \frac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+1}
分母の有理化:
1+x−1−x=(1+x−1−x)(1+x+1−x)1+x+1−x=1+x−(1−x)1+x+1−x=2x1+x+1−x\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \frac{1+x-(1-x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}
したがって、
x2+x+1−11+x−1−x=x(x+1)x2+x+1+12x1+x+1−x=x(x+1)(1+x+1−x)2x(x2+x+1+1)=(x+1)(1+x+1−x)2(x2+x+1+1)\frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = \frac{\frac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+1}}{\frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}} = \frac{x(x+1)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{2x(\sqrt{x^2+x+1}+1)} = \frac{(x+1)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{2(\sqrt{x^2+x+1}+1)}
ここで、x→0x \to 0 の極限を考えると、
lim⁡x→0(x+1)(1+x+1−x)2(x2+x+1+1)=(0+1)(1+0+1−0)2(02+0+1+1)=1(1+1)2(1+1)=24=12\lim_{x\to 0} \frac{(x+1)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{2(\sqrt{x^2+x+1}+1)} = \frac{(0+1)(\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0})}{2(\sqrt{0^2+0+1}+1)} = \frac{1(1+1)}{2(1+1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

12\frac{1}{2}

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