$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2 + bx + 1} - 2x) = 3$ が成り立つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{ax^2 + bx + 1} - 2x) = 3$ が成り立つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to \infty$のとき、$\sqrt{ax^2 + bx + 1}$ が $2x$ に近い値になる必要があるため、$a$の値が定まります。

$\sqrt{ax^2 + bx + 1} - 2x$ の極限を求めるために、有理化を行います。

$\sqrt{ax^2 + bx + 1} - 2x = \frac{(\sqrt{ax^2 + bx + 1} - 2x)(\sqrt{ax^2 + bx + 1} + 2x)}{\sqrt{ax^2 + bx + 1} + 2x}$

$= \frac{ax^2 + bx + 1 - 4x^2}{\sqrt{ax^2 + bx + 1} + 2x}$

$= \frac{(a-4)x^2 + bx + 1}{\sqrt{ax^2 + bx + 1} + 2x}$

この式の極限が存在するためには、$x^2$の係数が0である必要があります。つまり、$a-4 = 0$ より $a = 4$となります。

$a = 4$を代入すると、

$\frac{bx + 1}{\sqrt{4x^2 + bx + 1} + 2x}$

$= \frac{bx + 1}{\sqrt{x^2(4 + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2})} + 2x}$

$= \frac{bx + 1}{|x|\sqrt{4 + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2x}$

$x \to \infty$なので、$x > 0$として良い。よって、$|x| = x$

$= \frac{bx + 1}{x\sqrt{4 + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2x}$

$= \frac{x(b + \frac{1}{x})}{x(\sqrt{4 + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2)}$

$= \frac{b + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{b + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2} = \frac{b}{\sqrt{4} + 2} = \frac{b}{2 + 2} = \frac{b}{4}$

$\frac{b}{4} = 3$ より $b = 12$となります。

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = 12$