複素数平面上で、$z_0 = 1 + i$ が表す点を $A_0$ とし、$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ とする。 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。 $z_n = \alpha z_{n-1}$ ($n = 2, 3, \dots$) が表す点を $A_n$ とするとき、三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ ($n \geq 1$) を求め、$\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$z_0 = 1 + i$ が表す点を $A_0$ とし、$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ とする。

$z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。

$z_n = \alpha z_{n-1}$ ($n = 2, 3, \dots$) が表す点を $A_n$ とするとき、三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ ($n \geq 1$) を求め、$\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

2. 解き方の手順

(1) $z_n$ を求める:

$z_n = \alpha z_{n-1}$ なので、$z_n = \alpha^n z_0$ である。

(2) $S_n$ を求める:

三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ は、複素数平面における三角形の面積の公式を用いて計算できる。

$S_n = \frac{1}{2} |Im(\overline{z_{n-1}}z_n)|$

$z_{n-1} = \alpha^{n-1} z_0$ なので、$\overline{z_{n-1}} = \overline{\alpha^{n-1} z_0} = \overline{\alpha}^{n-1} \overline{z_0}$ である。

したがって、$S_n = \frac{1}{2} |Im(\overline{\alpha}^{n-1} \overline{z_0} \alpha^n z_0)| = \frac{1}{2} |Im(\alpha (\overline{\alpha})^{n-1} \alpha^{n-1} \overline{z_0} z_0)| = \frac{1}{2} |Im(\alpha |\alpha|^{2(n-1)} |z_0|^2)|$

ここで、$|\alpha|^2 = (\frac{\sqrt{3}}{6})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{36} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$|z_0|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

したがって、$S_n = \frac{1}{2} |Im((\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}) (\frac{1}{3})^{n-1} 2)| = \frac{1}{2} |Im((\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}) 2 (\frac{1}{3})^{n-1})|$

$= \frac{1}{2} |2 (\frac{1}{2}) (\frac{1}{3})^{n-1}| = (\frac{1}{3})^{n-1} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n-1}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める:

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$

これは初項1, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の和なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{3}{4}$