次の関数を微分します。 (1) $y=x^x$ ($x>0$) (2) $y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分します。

(1) $y=x^x$ ($x>0$)

(2) $y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y=x^x$ ($x>0$)

両辺の自然対数を取ります。

$\ln{y}=\ln{x^x}=x\ln{x}$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln{x}+x\cdot\frac{1}{x} = \ln{x}+1$

$\frac{dy}{dx}=y(\ln{x}+1)$

$\frac{dy}{dx}=x^x(\ln{x}+1)$

(2) $y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$

$y = \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

両辺の自然対数を取ります。

$\ln{y}=\ln\left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\ln\left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)=\frac{1}{3}(\ln(x+1)-2\ln(x+2))$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1}-2\cdot\frac{1}{x+2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{x+2-2(x+1)}{(x+1)(x+2)}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{-x}{(x+1)(x+2)}\right) = -\frac{x}{3(x+1)(x+2)}$

$\frac{dy}{dx}=y\cdot\left(-\frac{x}{3(x+1)(x+2)}\right)$

$\frac{dy}{dx}=\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}\cdot\left(-\frac{x}{3(x+1)(x+2)}\right) = -\frac{x}{3(x+1)^{2/3}(x+2)^{8/3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^x(\ln{x}+1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3(x+1)^{2/3}(x+2)^{8/3}}$