$u = 1 - \tan x$, $v = 1 + \tan x$ とおく。

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1. 問題の内容

問題11の(1)と(2), 問題12の(1)と(2)の関数をそれぞれ微分する問題です。

* 問題11(1): $y = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$

* 問題11(2): $y = x^2(\log x)^3$

* 問題12(1): $y = x^x$ ($x > 0$)

* 問題12(2): $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$

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2. 解き方の手順

### 問題11(1): $y = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$

1. 商の微分公式を用いる。商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。

$u = 1 - \tan x$, $v = 1 + \tan x$ とおく。

2. $u'$ と $v'$ を求める。

$u' = -\sec^2 x$, $v' = \sec^2 x$

3. 商の微分公式に代入する。

$y' = \frac{(-\sec^2 x)(1 + \tan x) - (1 - \tan x)(\sec^2 x)}{(1 + \tan x)^2}$

4. 式を整理する。

$y' = \frac{-\sec^2 x - \sec^2 x \tan x - \sec^2 x + \sec^2 x \tan x}{(1 + \tan x)^2}$

$y' = \frac{-2\sec^2 x}{(1 + \tan x)^2}$

5. $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ を用いて、式を整理する

$y' = \frac{-2(1 + \tan^2 x)}{(1 + \tan x)^2}$

### 問題11(2): $y = x^2 (\log x)^3$

1. 積の微分公式を用いる。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$。

$u = x^2$, $v = (\log x)^3$ とおく。

2. $u'$ と $v'$ を求める。

$u' = 2x$

$v' = 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}$ (合成関数の微分)

3. 積の微分公式に代入する。

$y' = (2x)(\log x)^3 + x^2 (3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x})$

4. 式を整理する。

$y' = 2x (\log x)^3 + 3x (\log x)^2$

$y' = x (\log x)^2 (2\log x + 3)$

### 問題12(1): $y = x^x$ ($x > 0$)

1. 両辺の自然対数をとる。

$\log y = \log (x^x) = x \log x$

2. 両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

3. $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

### 問題12(2): $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$

1. 両辺の自然対数をとる。

$\log y = \log \left( \frac{x+1}{(x+2)^2} \right)^{1/3} = \frac{1}{3} \log \frac{x+1}{(x+2)^2}$

$\log y = \frac{1}{3} [\log (x+1) - \log (x+2)^2] = \frac{1}{3} [\log (x+1) - 2 \log (x+2)]$

2. 両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} \right]$

3. $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} \right] = \left( \frac{x+1}{(x+2)^2} \right)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{(x+2) - 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} \right]$

$\frac{dy}{dx} = \left( \frac{x+1}{(x+2)^2} \right)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{x+2-2x-2}{(x+1)(x+2)} \right] = \left( \frac{x+1}{(x+2)^2} \right)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{-x}{(x+1)(x+2)} \right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3 (x+1)^{2/3} (x+2)^{4/3}}$

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3. 最終的な答え

* 問題11(1): $y' = \frac{-2(1 + \tan^2 x)}{(1 + \tan x)^2}$

* 問題11(2): $y' = x (\log x)^2 (2\log x + 3)$

* 問題12(1): $y' = x^x (\log x + 1)$

* 問題12(2): $\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3 (x+1)^{2/3} (x+2)^{4/3}}$