次の3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ (2) $y = x^2 (\log x)^3$ (3) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

はい、承知いたしました。問題の画像を拝見しました。次の関数を微分する問題ですね。

1. 問題の内容

次の3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$

(2) $y = x^2 (\log x)^3$

(3) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 1 - \tan x$, $v = 1 + \tan x$ とすると、

$u' = -\frac{1}{\cos^2 x} = -\sec^2 x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

したがって、

$y' = \frac{-\sec^2 x (1 + \tan x) - (1 - \tan x) \sec^2 x}{(1 + \tan x)^2}$

$= \frac{-\sec^2 x - \sec^2 x \tan x - \sec^2 x + \sec^2 x \tan x}{(1 + \tan x)^2}$

$= \frac{-2\sec^2 x}{(1 + \tan x)^2} = \frac{-2}{\cos^2 x (1 + \tan x)^2}$

$= \frac{-2}{\cos^2 x (1 + \frac{\sin x}{\cos x})^2} = \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2}$

(2) $y = x^2 (\log x)^3$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$, $v = (\log x)^3$ とすると、

$u' = 2x$, $v' = 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = 2x (\log x)^3 + x^2 \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}$

$= 2x (\log x)^3 + 3x (\log x)^2 = x (\log x)^2 (2\log x + 3)$

(3) $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = e^x - e^{-x}$, $v = e^x + e^{-x}$ とすると、

$u' = e^x + e^{-x}$, $v' = e^x - e^{-x}$

したがって、

$y' = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2}$

(2) $y' = x (\log x)^2 (2\log x + 3)$

(3) $y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$