関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$ を微分せよ。

## 問題12 (2) の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ をべき乗の形で書き換えます。

$y = \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

次に、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \ln \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)$

対数の性質を用いて、右辺を分解します。

$\ln y = \frac{1}{3} \left(\ln (x+1) - \ln (x+2)^2\right) = \frac{1}{3} \left(\ln (x+1) - 2\ln (x+2)\right)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2}\right)$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \left(\frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2}\right)$

右辺の括弧内を通分します。

$\frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} = \frac{(x+2) - 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2-2x-2}{(x+1)(x+2)} = \frac{-x}{(x+1)(x+2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \cdot \frac{-x}{(x+1)(x+2)}$

$y = \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{-x}{(x+1)(x+2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3} \cdot \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x+2)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{-x}{3} \cdot \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{5}{3}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)^5}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)^5}}$