次の極限値を求めます。 $\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x)$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x)$

2. 解き方の手順

$a$の値によって場合分けを行います。

* **場合1:** $a \leq 0$のとき

$a \leq 0$ のとき、$a^x$は$x$が大きくなるにつれて振動または0に近づきます。しかし、$2^x$は無限大に発散するため、$\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x) = \infty$となります。

* **場合2:** $0 < a < 2$のとき

$2^x$でくくると、

$\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x) = \lim_{x\to\infty} 2^x (1 - (\frac{a}{2})^x)$

$0 < a < 2$より、$0 < \frac{a}{2} < 1$なので、$x \to \infty$のとき$(\frac{a}{2})^x \to 0$となります。

したがって、

$\lim_{x\to\infty} 2^x (1 - (\frac{a}{2})^x) = \infty$

* **場合3:** $a = 2$のとき

$\lim_{x\to\infty} (2^x - 2^x) = \lim_{x\to\infty} 0 = 0$

* **場合4:** $a > 2$のとき

$a^x$でくくると、

$\lim_{x\to\infty} (2^x - a^x) = \lim_{x\to\infty} a^x ((\frac{2}{a})^x - 1)$

$a > 2$より、$0 < \frac{2}{a} < 1$なので、$x \to \infty$のとき$(\frac{2}{a})^x \to 0$となります。

したがって、

$\lim_{x\to\infty} a^x ((\frac{2}{a})^x - 1) = -\infty$

まとめると、

* $a \le 0$または $0<a<2$のとき、極限は$\infty$

* $a = 2$のとき、極限は$0$

* $a > 2$のとき、極限は$-\infty$

3. 最終的な答え

* $a \le 0$または $0<a<2$のとき: $\infty$

* $a = 2$のとき: $0$

* $a > 2$のとき: $-\infty$