SENSEI AI
About App

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解け。 $\tan \theta + \sqrt{3} \le 0$

解析学三角関数不等式tan三角不等式
2025/4/29

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、次の不等式を解け。
tan⁡θ+3≤0\tan \theta + \sqrt{3} \le 0

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。
tan⁡θ+3≤0\tan \theta + \sqrt{3} \le 0
tan⁡θ≤−3\tan \theta \le -\sqrt{3}
次に、tan⁡θ=−3\tan \theta = -\sqrt{3} となる θ\theta を求めます。tan⁡θ\tan \theta の周期は π\pi なので、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で tan⁡θ=−3\tan \theta = -\sqrt{3} となる θ\theta は 2π3\frac{2\pi}{3} と 5π3\frac{5\pi}{3} です。
tan⁡θ\tan \theta は θ=π2+nπ\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi (nn は整数) で定義されないので、θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} と θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} では定義されません。
tan⁡θ≤−3\tan \theta \le -\sqrt{3} を満たす θ\theta の範囲を考えます。tan⁡θ\tan \theta のグラフを描画すると、π2<θ<3π2\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2} の範囲でtan⁡θ\tan \theta は増加関数です。
tan⁡θ≤−3\tan \theta \le -\sqrt{3} となる範囲は π2<θ≤2π3\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2\pi}{3} と 3π2<θ≤5π3\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3} です。
したがって、θ\theta の範囲は π2<θ≤2π3\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2\pi}{3} と 3π2<θ≤5π3\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3} となります。

3. 最終的な答え

π2<θ≤2π3\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2\pi}{3}, 3π2<θ≤5π3\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{3}

「解析学」の関連問題

与えられた関数 $f(x)$ を、極限を用いて微分する問題です。具体的には、 (1) $f(x) = x^2 - 1$ (2) $f(x) = x(x-1)$ (3) $f(x) = \frac{1}...

微分極限関数の微分
2025/4/30

与えられた3つの関数を微分する問題です。関数はそれぞれ以下の通りです。 (8) $y = \frac{1}{x\sqrt[3]{x^2}}$ (9) $y = \frac{1}{\sq...

微分指数関数べき関数微分公式
2025/4/30

与えられた関数を $x^n$ の形に変形し、公式2.3（おそらく $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$）を用いて微分する問題です。問題文には全部で7つの関数がありますが、ここでは(...

微分関数べき乗導関数
2025/4/30

与えられた関数 $y = x\sqrt{x}$ の微分を求めます。

微分関数の微分べき関数ルート指数
2025/4/30

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ を求めよ。ただし、$\alpha$ は実数とする。

積分広義積分収束発散極限
2025/4/30

$\int \cos^{-1} x dx$ を求める問題です。つまり、逆余弦関数 $\cos^{-1} x$ の不定積分を計算します。

不定積分逆余弦関数部分積分置換積分
2025/4/30

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ を計算する問題です。

極限三角関数微積分
2025/4/30

$x = e^t$、$y = e^{-t}$ であるとき、$\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。

微分合成関数の微分パラメータ表示
2025/4/29

$x = e^t$ かつ $y = e^{-t}$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $t$ の関数として表す。

微分合成関数の微分パラメータ表示導関数
2025/4/29

次の2つの関数の導関数を求める問題です。 (a) $y = x^x$ ($x > 0$) (b) $y = \arctan x$

導関数微分対数微分合成関数逆三角関数
2025/4/29