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与えられた積分を計算する問題です。 積分は $\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$ です。

解析学積分置換積分arctan積分計算
2025/4/29

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。
積分は ∫arctan⁡x1+x2dx\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx です。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を用いて解きます。
u=arctan⁡xu = \arctan x と置くと、dudx=11+x2\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2} となります。
したがって、du=11+x2dxdu = \frac{1}{1+x^2} dx となります。
これを用いて積分を書き換えると、
∫arctan⁡x1+x2dx=∫u du\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \int u \, du
となります。
∫u du=12u2+C\int u \, du = \frac{1}{2}u^2 + C となるので、
12(arctan⁡x)2+C\frac{1}{2} (\arctan x)^2 + C が積分結果となります。

3. 最終的な答え

12(arctan⁡x)2+C\frac{1}{2} (\arctan x)^2 + C

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