問題は、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ を用いて、以下の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{2n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2n})^{n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^{n}$

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ を用いて、以下の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{2n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2n})^{n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^{n}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = (1+\frac{1}{n})^{2n}$ と置きます。

$y = ((1+\frac{1}{n})^{n})^{2}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{2n} = \lim_{n \to \infty} ((1+\frac{1}{n})^{n})^2 = (\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n})^2$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ より、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{2n} = e^2$

(2)

$y = (1+\frac{1}{2n})^n$ と置きます。

$m=2n$ と置換すると、$n = \frac{m}{2}$であり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

$y = (1+\frac{1}{m})^{\frac{m}{2}}$

$y = ((1+\frac{1}{m})^{m})^{\frac{1}{2}}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2n})^n = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{\frac{m}{2}} = \lim_{m \to \infty} ((1+\frac{1}{m})^m)^{\frac{1}{2}}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ より、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2n})^n = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

(3)

$y = (1+\frac{2}{n})^n$ と置きます。

$m=\frac{n}{2}$ と置換すると、$n = 2m$であり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

$y = (1+\frac{1}{m})^{2m}$

$y = ((1+\frac{1}{m})^m)^{2}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{2m} = \lim_{m \to \infty} ((1+\frac{1}{m})^m)^{2}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ より、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = e^2$

3. 最終的な答え

(1) $e^2$

(2) $\sqrt{e}$

(3) $e^2$