放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ に点 $P(t, 0)$ から異なる2本の接線を引き、その接点A, Bの$x$座標をそれぞれ$\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。 (1) $\alpha$ と $t$ の関係式を求めよ。 (2) 放物線 $C$, 直線 PA, PB によって囲まれる図形の面積を $S$ とする。$S$ の最小値を求めよ。ただし、$S$ を $\alpha, \beta, t$ で表してから (1) を使うこと。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ に点 $P(t, 0)$ から異なる2本の接線を引き、その接点A, Bの$x$座標をそれぞれ$\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。

(1) $\alpha$ と $t$ の関係式を求めよ。

(2) 放物線 $C$, 直線 PA, PB によって囲まれる図形の面積を $S$ とする。$S$ の最小値を求めよ。ただし、$S$ を $\alpha, \beta, t$ で表してから (1) を使うこと。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C: y = x^2 - 2x + 2$ 上の点 $(a, a^2 - 2a + 2)$ における接線を求める。

$y' = 2x - 2$ より、接線の傾きは $2a - 2$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - (a^2 - 2a + 2) = (2a - 2)(x - a)$

$y = (2a - 2)x - 2a^2 + 2a + a^2 - 2a + 2$

$y = (2a - 2)x - a^2 + 2$

この接線が点 $P(t, 0)$ を通るから

$0 = (2a - 2)t - a^2 + 2$

$a^2 - 2ta + 2t - 2 = 0$

$a$ は $\alpha$ と $\beta$ であるから、この二次方程式は異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つ。

したがって、$a$ に関する二次方程式の判別式 $D/4$ は $D/4 > 0$ である。

$D/4 = t^2 - (2t - 2) = t^2 - 2t + 2 = (t - 1)^2 + 1 > 0$

これは常に成り立つ。

$\alpha, \beta$ は $a^2 - 2ta + 2t - 2 = 0$ の解なので、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = 2t$

$\alphaとtの関係式を求めるということなので、$\alpha + \beta = 2t$だけでは不十分である。

$\alpha, \beta$ は $a^2 - 2ta + 2t - 2 = 0$ の解であるから

$a = t \pm \sqrt{t^2 - 2t + 2}$

$\alpha = t - \sqrt{t^2 - 2t + 2}, \beta = t + \sqrt{t^2 - 2t + 2}$

したがって、

$\alpha = t - \sqrt{(t-1)^2 + 1}$

$\beta = t + \sqrt{(t-1)^2 + 1}$

(2)

$S = \int_\alpha^\beta (x^2 - 2x + 2) dx - \frac{1}{2}(0 - (\alpha^2 - 2\alpha + 2)) (\beta - \alpha) - \frac{1}{2}(0 - (\beta^2 - 2\beta + 2)) (\beta - \alpha)$

2つの接線の方程式は

$l_1: y = (2\alpha - 2)x - \alpha^2 + 2$

$l_2: y = (2\beta - 2)x - \beta^2 + 2$

$S = \int_\alpha^\beta (x^2 - 2x + 2 - (2t-2)x +t^2-2) dx$

$S = \int_\alpha^\beta (x^2 - 2tx +2t) dx$

$S = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx$

$S = -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$

$\beta - \alpha = 2 \sqrt{t^2 - 2t + 2}$

$S = -\frac{1}{6} (2 \sqrt{t^2 - 2t + 2})^3 = \frac{4}{3} (t^2 - 2t + 2)^{3/2}$

$S = \frac{4}{3}((t-1)^2 + 1)^{3/2}$

$S$ は $t = 1$ のとき最小値 $\frac{4}{3}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = t - \sqrt{(t-1)^2 + 1}$

(2) $S$ の最小値は $\frac{4}{3}$