2つの放物線 $C_1: y = 2x^2 + a$, $a > 0$ と $C_2: y = -x^2 - 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) $C_1$ と $C_2$ の2本の共通接線の方程式を求めます。 (2) 2本の共通接線と $C_1$ で囲まれる部分の面積を $S_1$, 2本の共通接線と $C_2$ で囲まれる部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 : S_2$ を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = 2x^2 + a$, $a > 0$ と $C_2: y = -x^2 - 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) $C_1$ と $C_2$ の2本の共通接線の方程式を求めます。

(2) 2本の共通接線と $C_1$ で囲まれる部分の面積を $S_1$, 2本の共通接線と $C_2$ で囲まれる部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 : S_2$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $C_2$ 上の点 $(t, -t^2 - 1)$ における接線を考えます。

接線の方程式は

$y - (-t^2 - 1) = (-2t)(x - t)$

$y = -2tx + t^2 - 1$

これが $C_1$ の接線でもあるので、$2x^2 + a = -2tx + t^2 - 1$ が重解を持つ必要があります。

$2x^2 + 2tx + a - t^2 + 1 = 0$

判別式 $D = (2t)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a - t^2 + 1) = 0$

$4t^2 - 8a + 8t^2 - 8 = 0$

$12t^2 = 8a + 8$

$t^2 = \frac{2}{3}(a + 1)$

$t = \pm \sqrt{\frac{2}{3}(a + 1)}$

したがって、共通接線の方程式は

$y = \mp 2\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}x + \frac{2}{3}(a+1) - 1$

$y = \mp 2\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}x + \frac{2a - 1}{3}$

(2) $x$ 軸を対称軸として、共通接線は2本存在します。

共通接線の交点の $x$ 座標は $x = 0$ であり、$y$ 座標は $\frac{2a-1}{3}$ です。

$C_1$ と2本の共通接線で囲まれる面積 $S_1$ は

$S_1 = \int_{-\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}}^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} (2x^2 + a - (-2\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)} x + \frac{2a-1}{3})) dx$

$S_1 = 2 \int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} (2x^2 + a - \frac{2a-1}{3}) dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} (2x^2 + \frac{a+1}{3}) dx$

$S_1 = 2 [\frac{2}{3}x^3 + \frac{a+1}{3}x]_0^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} = 2 [\frac{2}{3}(\frac{2}{3}(a+1))\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)} + \frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}]$

$S_1 = 2[\frac{4(a+1)}{9} + \frac{3(a+1)}{9}]\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)} = 2 \cdot \frac{7}{9} (a+1) \sqrt{\frac{2}{3}(a+1)} = \frac{14}{9} (a+1) \sqrt{\frac{2(a+1)}{3}} = \frac{14}{9} \sqrt{\frac{2(a+1)^3}{3}} = \frac{14}{9} \sqrt{\frac{2}{3}} (a+1)^{\frac{3}{2}}$

$C_2$ と2本の共通接線で囲まれる面積 $S_2$ は

$S_2 = \int_{-\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}}^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} (-x^2 - 1 - (-2\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)} x + \frac{2a-1}{3})) dx$

$S_2 = 2 \int_0^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} (-x^2 - 1 - \frac{2a-1}{3}) dx = 2 \int_0^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} (-x^2 - \frac{2a+2}{3}) dx$

$S_2 = 2 \int_0^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}} (-x^2 - \frac{a+1}{3}) dx = 2 [-\frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{3}x]_0^{\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}}$

$S_2 = 2 [-\frac{1}{3}(\frac{2}{3}(a+1))^{\frac{3}{2}} - \frac{a+1}{3} \sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}] = 2 [-\frac{2(a+1)}{9}\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)} - \frac{3(a+1)}{9} \sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}]$

$S_2 = 2[-\frac{5}{9}(a+1)\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}] = \frac{10}{9} \sqrt{\frac{2}{3}} (a+1)^{\frac{3}{2}}$

$S_1 : S_2 = \frac{14}{9} \sqrt{\frac{2}{3}} (a+1)^{\frac{3}{2}} : \frac{10}{9} \sqrt{\frac{2}{3}} (a+1)^{\frac{3}{2}}$

$S_1 : S_2 = 14 : 10 = 7 : 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = \mp 2\sqrt{\frac{2}{3}(a+1)}x + \frac{2a-1}{3}$

(2) $S_1 : S_2 = 7 : 5$