以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義に関連しています。

$y = \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = x \ln \left(1 + \frac{3}{x}\right)$

ここで、$t = \frac{x}{3}$ とおくと、$x = 3t$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$ なので、

$\ln y = 3t \ln \left(1 + \frac{1}{t}\right) = 3 \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}}$

ここで、$t \to \infty$ のとき $\frac{1}{t} \to 0$ であることを利用します。

$\lim_{t \to \infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}}$ を計算します。$\frac{1}{t} = h$ とおくと、$t \to \infty$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + h)}{h}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + h}}{1} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{1 + h} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 3 \lim_{t \to \infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{t}\right)}{\frac{1}{t}} = 3 \cdot 1 = 3$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 3$ より、$\lim_{x \to \infty} y = e^3$

3. 最終的な答え

$e^3$