次の和を求めます。 $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!}$ また、$\frac{k}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$ という恒等式を利用します。

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!}$

また、$\frac{k}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$ という恒等式を利用します。

2. 解き方の手順

与えられた恒等式を利用して、各項を分解します。

$\frac{1}{2!} = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}$

$\frac{2}{3!} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}$

$\frac{3}{4!} = \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}$

$\vdots$

$\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$

これらの式をすべて足し合わせると、次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \right)$

これは望遠鏡和（テレスコーピング和）になっているため、多くの項が打ち消し合います。

$\left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} \right)$

$= \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!}$

$= 1 - \frac{1}{(n+1)!}$

3. 最終的な答え

求める和は $1 - \frac{1}{(n+1)!}$ です。