$xy$平面上の原点$(0,0)$と点$(1,2)$を結ぶ線分(両端を含む)を$L$とする。曲線 $y=x^2+ax+b$ が $L$ と共有点をもつような実数の組$(a, b)$の集合を $ab$ 平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上の原点$(0,0)$と点$(1,2)$を結ぶ線分(両端を含む)を$L$とする。曲線 $y=x^2+ax+b$ が $L$ と共有点をもつような実数の組$(a, b)$の集合を $ab$ 平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

線分 $L$ 上の点は、パラメータ $t$ を用いて $(t, 2t)$ （$0 \le t \le 1$）と表せる。曲線 $y=x^2+ax+b$ と線分 $L$ が共有点を持つためには、ある $t$ ($0 \le t \le 1$) が存在して、

$$2t = t^2 + at + b$$

が成り立つ必要がある。これを $a$ と $b$ について整理すると、

$$b = -t^2 - at + 2t$$

$$b = -(t^2 + at - 2t)$$

となる。したがって、$a$ と $b$ の関係は、ある $0 \le t \le 1$ に対して、

$$b = -t^2 - at + 2t$$

を満たす $t$ が存在することである。

この式を $t$ の関数としてみると

$$f(t) = -t^2 + (2-a)t - b = 0$$

となる。この2次方程式が $0 \le t \le 1$ の範囲に少なくとも1つの解を持つような $a, b$ の条件を求める。

$f(t) = 0$ が $0 \le t \le 1$ に解を持つ条件は、以下のいずれかが成り立つことである。

(1) $f(0)f(1) \le 0$

(2) 軸が $[0, 1]$ にあり、$f(0) \ge 0$ かつ $f(1) \ge 0$ かつ 判別式 $D \ge 0$

(1) の場合：

$f(0) = -b$, $f(1) = -1 + 2 - a - b = 1 - a - b$ なので、

$(-b)(1 - a - b) \le 0$

$b(a + b - 1) \le 0$

(2) の場合：

軸は $t = \frac{a-2}{-2} = \frac{2-a}{2}$ である。

$0 \le \frac{2-a}{2} \le 1$ より、 $0 \le 2 - a \le 2$ つまり $0 \le a \le 2$。

$f(0) = -b \ge 0$ より $b \le 0$。

$f(1) = 1 - a - b \ge 0$ より $a + b \le 1$。

判別式 $D = (2-a)^2 - 4(-1)(-b) = a^2 - 4a + 4 - 4b \ge 0$ より $b \le \frac{1}{4}(a^2 - 4a + 4) = \frac{1}{4}(a-2)^2$.

上記の条件を図示する。

$b(a+b-1) \le 0$ は、

$b=0$ または $a+b=1$ を境界とする領域で、$b<0$ かつ $a+b>1$ または $b>0$ かつ $a+b<1$を満たす領域を表す。

$b \le \frac{1}{4}(a-2)^2$ の条件も合わせて図示する。

3. 最終的な答え

ab平面上に、$b(a+b-1) \le 0$ および $0 \le a \le 2$, $b \le 0$, $a+b \le 1$, $b \le \frac{1}{4}(a-2)^2$ を満たす領域を図示することで、答えが得られる。

これらの不等式を満たす領域を図示すると、曲線 $b=\frac{1}{4}(a-2)^2$ と直線 $a+b=1$, $b=0$ で囲まれた領域となる。